Simulações Monte Carlo: O que são e como funcionam?

A Simulação de Monte Carlo é uma técnica matemática utilizada para estimar possíveis resultados de eventos incertos. Criada durante a Segunda Guerra Mundial por John von Neumann e Stanislaw Ulam. Esta abordagem recorre a valores aleatórios para simular diversos cenários e calcular as probabilidades de diferentes resultados. Atualmente, a Simulação de Monte Carlo é amplamente aplicada em finanças, engenharia, inteligência artificial e gestão de riscos, permitindo analisar incertezas e tomar decisões mais informadas.

Neste artigo, exploramos o seu funcionamento, as suas vantagens e como pode ser utilizada em contextos reais.

O que é o método Monte Carlo?

O método Monte Carlo, também conhecido como Simulação Monte Carlo, é uma técnica matemática usada para estimar os possíveis resultados de um evento incerto. O Método “Monte Carlo” foi inventado por John von Neumann e Stanislaw Ulam durante a 2º Guerra Mundial, para melhorar a tomada de decisões sob condições incertas. O nome foi inspirado na cidade de Mónaco, famosa pelos seus casinos, já que o elemento do acaso é fundamental para a abordagem da modelagem, semelhante a um jogo de roleta.

Desde a sua introdução, as Simulações Monte Carlo avaliam o risco em diversas áreas da vida real, como inteligência artificial (IA), preços das ações, previsão de vendas e gestão de projetos, entre outras. As Simulações Monte Carlo oferecem inúmeras vantagens em relação aos modelos de previsão com entradas fixas, como a capacidade de realizar análises de sensibilidade ou calcular a correlação de entradas. A análise de sensibilidade permite que as pessoas responsáveis pelas decisões vejam o impacto de entradas individuais num determinado resultado, e a correlação permite que os mesmos entendam as relações entre quaisquer variáveis de entrada.

Funcionamento das Simulações Monte Carlo

A Simulação Monte Carlo mostra que, devido às variáveis aleatórias, não podemos determinar a probabilidade exata de um resultado. Em vez disso, esta forma de simulação consiste em realizar inúmeras repetições de amostras aleatórias.

Numa Simulação Monte Carlo, atribui-se à variável incerta um valor aleatório antes de “rodar” o modelo e registar o respetivo resultado. Esse ciclo de atribuição e execução repete-se várias vezes, garantindo que inúmeros valores possíveis sejam testados. Ao término de todas as “rodadas”, consolida-se os resultados, para assim se chegar a uma estimativa confiável.

Peguemos no exemplo mais comum, um dado. Um dado de seis lados tem um 1/6 de probabilidade de cair num número específico de 1 a 6. Se lançarmos um dado seis vezes, nem sempre obteremos todos os números de 1 a 6. No entanto, se repetirmos o lançamento milhares de vezes, a frequência de cada número tenderá para a probabilidade teórica de 1/6. Quanto maior o número de simulações, mais preciso será o resultado.

A Simulação Monte Carlo funciona na mesma mecânica. Faz uso de um software de computador para executar simulações suficientes para assim produzir resultados diferentes que tendem a imitar os resultados do quotidiano/realidade. O sistema usa geradores de números aleatórios para recriar a incerteza comum dos parâmetros de entrada.

O que é necessário para efetuar uma Simulação Monte Carlo?

Uma análise Monte Carlo consiste em variáveis de entrada, variáveis de saída e um modelo matemático. O software de computador alimenta as variáveis independentes num modelo matemático, faz as respetivas simulações e produz variáveis dependentes.

Variáveis de entrada

As variáveis de entrada são valores aleatórios que afetam o resultado da Simulação Monte Carlo. A título exemplificativo, a “velocidade do vento e a direção do vento” são variáveis de entrada que influenciam a produção de eletricidade de um parque eólico.

Variável de saída

A variável de saída é o resultado da análise de “Monte Carlo”. A título exemplificativo, a “potência gerada pelo parque eólico” é uma variável de saída. O software de Simulação Monte Carlo mostra a variável de saída, por exemplo num tipo de gráfico, denominado “Histograma”.

Modelo Matemático

O modelo matemático é uma equação que descreve a relação entre as variáveis de entrada e de saída de forma matemática. Por exemplo, “Energia Gerada = Eficiência x Força do Vento”.

O software substitui “Eficiência” e “Força do Vento” por valores prováveis com base no tipo de distribuição de probabilidade. A simulação é então repetida para obter um resultado com um alto grau de precisão.

P (Potência gerada) = C (Constante que depende da turbina e do ambiente) x v^3 (Velocidade do vento)

Este modelo destaca que a potência gerada aumenta significativamente com a velocidade do vento.

Distribuições de probabilidade da Simulação Monte Carlo

Na Simulação Monte Carlo, as distribuições de probabilidade são fundamentais para representar a incerteza de variáveis de entrada. Essas distribuições definem como os valores aleatórios se distribuem dentro de um determinado intervalo, ajudando a prever possíveis resultados de um fenómeno incerto. As variáveis podem ser discretas (assumem valores finitos) ou contínuas (podem assumir qualquer valor dentro de um intervalo).

De seguida, vou deixar 2 distribuições de probabilidade mais comuns usadas na Simulação Monte Carlo:

Distribuição Normal

A Distribuição Normal, ou curva de sino, é simétrica e modela eventos onde os valores mais prováveis estão próximos da média, enquanto valores muito altos ou muito baixos são menos frequentes.

Exemplo na simulação de energia eólica: a velocidade do vento num local específico (modo geral) segue uma distribuição normal, com uma média em torno da velocidade típica da região e desvios padrão que representam variações ocasionais. A maior parte do tempo, os ventos estarão próximos da média, mas rajadas muito fortes ou mais calmas, serão menos frequentes.

Distribuição Uniforme

A Distribuição Uniforme atribui a mesma probabilidade a todos os valores dentro de um intervalo, sem favorecer um resultado específico.

Exemplo na simulação de energia eólica: se estivermos a simular a direção do vento, podemos assumir que ela segue uma distribuição uniforme entre 0º e 360º graus, já que o vento pode soprar em qualquer direção com a mesma probabilidade ao longo do tempo.

Etapas para a realização de uma Simulação Monte Carlo

A Simulação Monte Carlo segue um conjunto de etapas para modelar a incerteza e estimar possíveis resultados. De seguida, descrevemos esse processo aplicado ao contexto que temos vindo a utilizar:

1. Estabelecer um modelo matemático: o primeiro passo é definir a equação que relaciona as variáveis de entrada com a variável de saída. No caso da produção de energia eólica, podemos utilizar um modelo simplificado: P (Potência gerada) = C (Constante da turbina eólica) x v^3 (velocidade do vento)

Este modelo mostra que a potência gerada depende fortemente da velocidade do vento, que é uma das variáveis de entrada.

2. Determinar os valores de entrada: definem-se as distribuições de probabilidade das variáveis de entrada, com base em dados históricos e conhecimento do fenómeno. Algumas distribuições comuns para este caso são: a velocidade do vento (distribuição normal, a maioria dos ventos tende a se concentrar em torno de uma média); e a direção do vento (distribuição uniforme, os ventos podem vir de qualquer direção com a mesma probabilidade).
   
3. Criar um conjunto de dados de amostra: geram-se assim milhares de valores aleatórios para cada variável de entrada, segundo as distribuições de probabilidade definidas. Quanto maior o número de simulações, maior a precisão de resultados. Por exemplo, podemos gerar 100000 amostras de velocidades de vento aleatórias e calcular a potência gerada para cada uma.
   
4. Configuração do software de Simulação Monte Carlo: O software de simulação recebe o modelo matemático, as variáveis de entrada e os dados gerados. Ele então executa repetidamente os cálculos, simulando diferentes cenários de produção de energia. O tempo de execução pode variar conforme a complexidade do modelo e a quantidade de amostras.
   
5. Análise de resultados: Os resultados da simulação são analisados estatisticamente para entender como a potência gerada se distribui.

Algumas métricas importantes incluem:

• Valor médio: produção média esperada de energia
• Desvio padrão: medida de variabilidade nos resultados
• Distribuição de saída: um histograma mostra a frequência dos diferentes níveis de potência gerada.

Estas análises permitem avaliar a probabilidade de produzir energia suficiente e ajudam a tomar decisões estratégicas, como a instalação de novas turbinas ou a previsão de fornecimento de eletricidade à rede.

Motivos para aprendizagem sobre as Simulações de Monte Carlo?

As Simulações de Monte Carlo são uma ferramenta poderosa para modelar e analisar incertezas em diversos campos. Elas permitem estimar a probabilidade de diferentes cenários ocorrerem, o que auxilia na tomada de decisões estratégicas em áreas como finanças, engenharia, logística e ciências naturais.

1. Modelar incertezas e riscos: muitos problemas do mundo real envolvem incerteza, e a Simulação Monte Carlo permite testar milhares de cenários possíveis para entender o impacto de diferentes variáveis aleatórias.

Exemplo: no setor energético, pode prever-se a produção de um parque eólico considerando variações na velocidade do vento e falhas técnicas das turbinas; no mercado financeiro, a Simulação Monte Carlo pode ser usada para estimar o risco de investimentos, analisando possíveis flutuações do mercado.

2. Melhorar a tomada de decisão: ao invés de depender de uma única previsão estática, a Simulação Monte Carlo fornece uma gama de possíveis resultados, permitindo uma visão mais clara sobre melhores e piores cenários.

Exemplo: uma empresa pode utilizar a Simulação Monte Carlo para prever a rendibilidade de um projeto, considerando incertezas nos custos e receitas; um engenheiro pode estimar o tempo necessário para concluir uma obra, simulando possíveis atrasos devido ao clima, disponibilidade de materiais e produtividade da equipa.

3. Aplicação nas mais diversas áreas: a Simulação Monte Carlo não se limita a um único setor, ela é amplamente usada em finanças, engenharia, medicina, logística, entre muitas outras áreas.
   
4. Facilidade de implementação com tecnologia: no mundo atual, com ferramentas como Python, R e softwares especializados, é possível implementar Simulações Monte Carlo de forma prática e eficiente. O uso dessas ferramentas permite testar hipóteses e validar modelos antes de tomar decisões importantes.
   
5. Melhora a capacidade analítica e de resolução de problemas: aprender sobre Simulações Monte Carlo desenvolve um raciocínio analítico sólido, ajudando a interpretar dados estatísticos e modelar problemas complexos de forma estruturada.

Vantagens e limitações da Simulação Monte Carlo

A Simulação Monte Carlo foi desenvolvida para superar limitações percebidas noutros métodos de estimativa de resultados prováveis. Diferente de abordagens que partem da média fixa para prever o futuro, a Simulação Monte Carlo simula múltiplas possibilidades ao testar diversas variáveis aleatórias. Dessa forma, ele gera um conjunto de cenários possíveis e calcula a média dos resultados, proporcionando uma visão mais ampla das incertezas envolvidas.

Se aplicarmos isto em cenários financeiros, a Simulação Monte Carlo baseia-se em dados históricos para projetar possíveis movimentos futuros. No entanto, para evitar uma simples extrapolação do passado, o método insere fatores aleatórios, representados por números gerados estocasticamente. No final, a análise desses números permite estimar o grau de risco associado a desvios inesperados dos padrões históricos.

Embora nenhuma simulação possa prever o futuro com absoluta certeza, a Simulação Monte Carlo oferece uma estimativa mais precisa das probabilidades de variação em relação às projeções convencionais. Isso torna a técnica uma ferramenta valiosa para avaliar riscos e tomar decisões informadas em diferentes áreas, como finanças, engenharia e gestão de projetos.

Em suma, aprender sobre “Simulações Monte Carlo” é essencial para quem deseja analisar incertezas, otimizar processos e tomar decisões baseadas em probabilidades. Seja em finanças, engenharia, ciência de dados, ou qualquer outra área, esta técnica é um diferencial valioso para enfrentar desafios que o mundo real nos impõe, e que nos permite que os enfrentemos de forma mais precisa e fundamentada.